Veckans Matematikfråga!

[Thomas]

Sitter och river mina återstående hårstrån...

Jag håller på med lastsäkringsbestämmelser på jobbet (utbildar blivande lastbilspiloter).
Att räkna på lastsäkring i "fullskala" är en baggis (!?), men nu tänker jag bygga ett lastflak i skala 1:5 för lektionssalsövningar.

Ponera att en 1000-kiloslåda står på en lastpall, 1,20x0,80 m (0,96 kvm) och jag vill "skala ner" den propotionerligt i skala 1:5.
Hur mycket ska då lådan väga för att man ska få överförbara siffror och egenskaper?
Ska man ta hänsyn till yt-trycket?
Minskar man ner en pall till skala 1:5 så blir den 0,24x0,16 m, d.v.s. 0,0384 kvm (3,84 kvdm).
Kan man bara skala ner vikten till 1:5, dvs 200 kg?
Måste man räkna ner i kvadrat? Eller t.o.m. i kubik??

Det roliga i sammanhanget är att friktionen tar ingen som helst hänsyn till vikten... en tom pall och en fullastad pall glider iväg i exakt samma ögonblick om flaket lutas över en viss vinkel.

[Thomas]

1/1/5=2 eller?

Huh??

[freddan_6]

Tänk så här: Om lådan befinner sig i 3 dimensioner så ska den skalas i 3 dimensioner, vikten blir 1/5 ^^ 3 d.v.s 1/125; och det är precis samma som du måste skala vikten i ett skalaplan.

Förtydligande vikten blir 1000 / 125 = 8 kg

mvh. //Fredrik

[roggie_49]

Sorry sitter o sover, sk-t i mitt svar...

[Thomas]

Tänk så här: Om lådan befinner sig i 3 dimensioner så ska den skalas i 3 dimensioner, vikten blir 1/5 ^^ 3 d.v.s 1/125; och det är precis samma som du måste skala vikten i ett skalaplan.

Förtydligande vikten blir 1000 / 125 = 8 kg

mvh. //Fredrik

Jo helt klart, men då blir yt-trycket helt avvikande.
Borde bli samma tryck per cm2 i fullskala som i skala 1:5.

[freddan_6]

Nej det borde det inte. Tänk på en myra jämfört med en elefant. Elefanten kan inte hoppa för då går den sönder. Myran kan du slänga upp i luften utan att den tar skada.
m.v.h. //Fredrik

[SilverB]

Det här med skallagar är inte helt enkelt. När man ändrar skalan på ett objekt kommer man inte att kunna behålla förhållandet mellan alla parametrar konstant utan man måste bestämma sig för vad som är viktigt i det speciella fallet.

I det här fallet så vill Thomas behålla samma tryck (kraft/ytenhet) mot underlaget i fullskala och modell (vilket är helt riktigt resonerat om man vill titta på friktionen). Skalningen ger då följande:
Längden ändras med skalfaktorn (1/5).
Ytan ändras med kvadraten på skalfaktorn (1/5 x 1/5 = 1/25).
Volymen (eller massan om vi behåller samma material) ändras med kubiken på skalfaktorn (1/5 x 1/5 x 1/5 = 1/125).

Nu ville vi behålla trycket från pallen konstant. Då trycket som sagt är kraft/yta (kraften är massan x en konstant) måste massan skalas som ytan. Då ytan skalas ned till 1/25 av den ursprungliga ytan måste också massan skalas med samma faktor (1/25) och i modellskalan ska därför massan vara 1000/25 kg = 40 kg. då kommer trycket från fullskalapallen och modellpallen att vara lika.

(För att göra det helt korrekt så ska massan av last + pall skalas med 1/25, men massan på pallen fanns inte med i frågan).

/Jonas

[Michael]

Det här med skallagar är inte helt enkelt. När man ändrar skalan på ett objekt kommer man inte att kunna behålla förhållandet mellan alla parametrar konstant utan man måste bestämma sig för vad som är viktigt i det speciella fallet.

I det här fallet så vill Thomas behålla samma tryck (kraft/ytenhet) mot underlaget i fullskala och modell (vilket är helt riktigt resonerat om man vill titta på friktionen). ...
/Jonas

Nej, det finns ingen anledning att skala så att trycket (Pa) mot underlaget är konstant. Om man begränsnar sig till friktion mellan fasta material så är friktionskraften oberoende av trycket. Det enda som spelar roll är friktionskoefficient och normalkraft, dvs.
Friktionskraft = Friktionskoefficient * Normalkraft.
Om man ska studera lastförskjutningar på ett lastbilsflak vill man veta hur accelerationer i olika riktningar kan få lasten att börja röra sig. De krafter som uppkommer genom accelerationer (inbromsning, kurvtagning mm.) är proportionella mot kroppens massa (F=m*a) vilket också normalkraften mot underlaget är (F=m*g*cos(lutningsvinkel)).

Precis som Thomas skriver i sin ursprungliga fråga så innebär detta att det inte spelar någon roll vilken massa skalamodellen av lasten har. Det viktiga är att materialet och dess ytstuktur är så lika originalet som möjligt så att friktionskoefficienten är densamma och att lastens tyngdpunkt har samma läge i modellen som i verkligheten. För mer "petiga" beräkningar måste man beakta inte bara tyngdpunktens läge utan även massans fördelning (masströghetsmoment).

Hoppas att detta är nog svar på frågan.

P.S. Trådens titel borde vara "Veckans fysikfråga" då frågeställningen har mycet lite med matematik att göra annat än att vi kan uttrycka svaret med formler. D.S.

[Thomas]

Jo'rå, jag har räknat och räknat, och oxå kommit fram till att den skalenliga lasten ska väga 40 kg, men Michael har många poänger om tröghet, acceleration osv.
Nu är det så väl underbyggt att jag har samtliga formelsamlingar för hur man räknar ut hur många spännband det behövs för att säkra en viss last, men tiden räcker just nu inte till riktigt.... När jag blir pensionär kanske, men då är man väl så senil så man kommer inte ihåg frågan!

Faktum kvarstår, en tom pall och en fullastad pall glider i exakt samma ögonblick vid en viss tippvinkel, bara friktionen är den samma på båda pallarna.

Hoppas nu ingen ligger sömnlös och grubblar, det var inte meningen att det skulle bli så här 'djupt' ...